债券的凸性|配方|持续时间|计算
债券的凸性是什么？
债券的凸性是一种度量，它显示了债券价格与债券收益率之间的关系，即，由于利率变化而导致的债券期限的变化，这有助于风险管理工具衡量和管理投资组合的收益。承受利率风险和预期损失的风险
解释
众所周知，债券价格与收益率成反比，即随着收益率的增加，价格下降。但是，该关系不是直线，而是凸曲线。凸度测量此关系中的曲率，即持续时间如何随键的屈服率的变化而变化。
债券的期限是债券价格与利率之间的线性关系，利率随着利率的升高而降低。简而言之，持续时间越长，意味着债券价格对利率变化越敏感。对于债券的小而突然的变化，收益期限是衡量债券价格敏感性的一个很好的指标。但是，对于产量的较大变化，持续时间度量无效，因为该关系是非线性的并且是曲线。麦考利的存续期，修改过的存续期，有效存续期和关键利率存续期有四种不同类型的存续期量度，它们均衡量内部现金流量偿还债券价格需要多长时间。它们的区别在于如何处理利率变化，嵌入式债券期权和债券赎回期权。但是，它们没有考虑价格和收益之间的非线性关系。
凸度衡量债券期限变化的敏感性是收益率。凸度是利率波动较大时债券价格变化的一个很好的度量。从数学上讲，凸度是债券价格随利率变化的公式的二阶导数，以及持续时间方程式的一阶导数。
债券凸性公式
凸度计算示例
对于面值为USD1,000的债券，每半年付息一次的利率为8.0％，到期收益率为10％，到期日为6年，当前价格为911.37，则期限为4.82年，修正的期限为4.59，凸性为：
年度凸度：半年凸度/ 4 = 26.2643半年度凸度：105.0573
在上面的示例中，可以使用26.2643的凸度来预测价格变化，即收益率发生1％的变化将是：
如果使用唯一修改的持续时间：
价格变化= – 修改期限*收益率变化
收益增加1％时的价格变化=（– 4.59 * 1％）= -4.59％
因此价格将下降41.83
为了适应图形的凸形形状，价格公式的更改为：
价格变化= [–修改的持续时间*收益率的变化] +[1/2 *凸度*（产量变化）2]
价格变化，每增加1％的收益= [-4.59*1 %] + [1/2 *26.2643* 1%] = -4.46%
因此价格将仅下降40.64，而不是41.83
这表明对于相同的1％的收益增长，如果使用唯一的持续时间，而不是同时调整价格收益曲线的凸度，则预测的价格下降会如何变化。
因此，如修改期限所预测的那样，收益率增加1％时的价格为869.54，而使用修改期限和债券的凸面所预测的价格为870.74。价格变化的1.12差异是由于价格收益率曲线不是像持续时间公式所假定的那样线性的事实。
凸近似公式
从凸度计算中可以看出，该计算可能非常繁琐且耗时较长，尤其是如果该债券是长期债券并且现金流量众多。凸近似的公式如下：
凸性与风险管理
从公式中可以看出，凸度是债券价格，YTM（到期收益率），到期时间和现金流量总和的函数。息票流量（现金流量）的数量会更改持续时间，并因此更改债券的凸度。零息债券的期限等于其到期时间，但由于其价格与收益率之间仍然存在凸关系，因此零息票债券的凸性最高，其价格对收益率变化最敏感。
在上图中，即使债券A的期限相同，债券A也比债券B凸，因此债券A受利率变化的影响较小。
凸度是一种风险管理工具，用于定义债券的风险程度，即债券的凸度越多，其对利率变动的价格敏感性就越高。当利率下降时，具有较高凸度的债券的价格变化要比具有较低凸度的债券的价格变化大。因此，当对两个相似的债券进行评估以获得相似的收益率和期限的投资时，在价格波动较大或稳定或下降的情况下，具有较高凸度的债券更可取。在利率下降的情况下，更高的凸度会更好，因为利率上升带来的价格损失会更小。
正凸和负凸
凸度可以是正的或负的。如果债券的收益率和持续时间一起增加或减少，则债券具有正凸性，即它们具有正相关性。收益曲线通常向上移动。此类型适用于没有看涨期权或预付款期权的债券。当收益增加而持续时间减少时，债券具有负的凸度，即收益与持续时间之间存在负相关性，收益曲线向下移动。这些通常是具有看涨期权，抵押支持证券和具有还款选择权的债券。如果具有提前还款或看涨期权的债券要为提早退出支付溢价，则凸度可能会变为正数。
息票支付和债券的支付周期有助于债券的凸性。如果在债券存续期内有更多的定期票息支付，则凸度会更高，使其更不受利率风险的影响，因为定期支付有助于消除市场利率变化的影响。如果一次性付清，那么凸度最小，这使它成为更具风险的投资。
债券投资组合的凸性
对于债券投资组合，凸度将衡量所有债券的风险，是没有债券的单个债券的加权平均值，或者该债券的市场价值用作权重。
即使凸度考虑了价格-收益率曲线的非线性形状并针对价格变化的预测进行了调整，但仍然存在一些误差，因为它只是价格-收益率方程的二阶导数。为了获得更准确的收益率价格变化，添加下一个衍生工具将使价格更接近债券的实际价格。如今，借助复杂的计算机模型来预测价格，凸度更多地用于衡量债券或债券投资组合的风险。债券或债券投资组合的凸度越高，风险降低的价格变化就越小。因此，随着市场价格处于较低风险中，凸度更高的债券的收益率将更低。
利率风险和凸性
债券的风险衡量涉及许多风险。这些包括但不限于：
- 以无利可图的方式改变市场利率的市场风险
- 债券提前还款的风险是在到期日之前偿还，从而扰乱了现金流量
- 债券发行人的违约风险不会支付利息或本金
利率风险是所有债券持有人的普遍风险，因为所有利率上升都会降低价格，而所有利率下降都会增加债券的价格。该利率风险通过修改期限来衡量，并通过凸度进一步完善。凸度是系统性风险的一种度量，因为它测量的是债券债券投资组合价值的变化对市场利率的影响较大，而修改后的期限足以预测较小的利率变化。
如前所述，对于普通债券，凸性为正，但对于具有可赎回债券，抵押支持证券（具有提前还款权）之类的选择权的债券，随着预付款风险的增加，债券在较低利率下具有负性。对于具有负凸度的此类债券，由于现金流因预付款和提前赎回而发生变化，因此价格不会随着利率的下降而显着上涨。
随着现金流量的散布，随着利率风险的增加，凸度也随之增加，并且现金流量之间的差距也越来越大。因此，如果息票分布更广且价值较小，则凸度作为一种度量方法将更为有用。如果我们有零息债券和零息债券的投资组合，则凸度如下：
- 零息债券的期限等于其到期日（因为只有一次现金流），因此其凸度非常高
- 而零息票债券投资组合的存续期可以通过更改投资组合中零息票债券的名义和到期价值来调整为单个零息票债券的期限。但是，该投资组合的凸度高于单个零息票债券。这是因为投资组合中债券的现金流比单个零息票债券的现金流分散得多。
带有看跌期权的债券的凸性为正，而带有看涨期权的债券的凸性为负。这是因为当看跌期权进入货币时，如果市场下跌，您可以放入债券；如果市场上涨，则您保留所有现金流量。但是，这使凸度为正，或者，如果市场利率降低，发行人将选择发行带有看涨期权的债券来发行债券；如果市场利率上升，则将保留现金流量。由于现金流量的可能变化，随着利率降低，债券的凸度为负。
当未来现金流量没有预期变化时，债券的测得凸度称为修正凸度。当预期未来现金流量发生变化时，测得的凸度为有效凸度。
结论
由于价格收益率曲线的形状而产生了凸性。如果市场收益率曲线是平坦的，并且所有价格变动都是平行变动，那么投资组合越凸，它的表现就会越好，并且就没有套利空间了。但是，由于收益率曲线是弯曲的，对于长期债券，价格收益率曲线是驼峰形的，以适应后一项中较低的凸度。
最后，凸度是对债券或投资组合的利率敏感性的一种度量，应根据投资者的风险状况使用凸度来评估投资。
